书名：椭圆算子特征值问题研究
作者：杜锋
ISBN：978-7-5618-7291-8
出版社：天津大学出版社
出版日期：2022.08
微分流形上各类椭圆算子的特征值问题一直是微分几何与几何分析研究领域的重要课题,受到国内外数学家的广泛关注和研究.本书分别研究了完备黎曼流形上四阶散度型椭圆算子的特征值问题,一致伪凸CR流形上次拉普拉斯算子的夹圆盘问题,Ricci平坦流形上任意阶调和算子的特征值问题和任意阶的Buckling问题,并得到这些特征值问题的一些特征值不等式.第1章介绍了特征值问题的研究背景以及本书的研究内容.第2章研究了完备黎曼流形上四阶散度型椭圆算子的特征值问题.散度型椭圆算子是一类重要的微分算子,在偏微分方程、几何分析等研究领域中具有重要地位.关于二阶散度型椭圆算子的特征值问题,Wang和Xia得到这一问题在欧氏空间中的一些万有不等式,而doCarmo、Wang和Xia则得到了紧致黎曼流形和具有特殊函数的完备黎曼流形上这一特征值问题的一些万有不等式,在此研究成果的基础上,本章给出了四阶散度型椭圆算子特征值的万有不等式.另一方面,通过使用Gram-Schmidt正交化方法(QR分解定理)构造合适的测试函数,还得到了这一特征值问题的低阶特征值的万有不等式.本章的最后一节介绍了一些满足本章定理条件的具体的散度型算子.第3章研究了一致伪凸CR流形上次拉普拉斯算子的夹圆盘问题.一致伪凸CR流形(也称为强伪凸CR流形)是一类次黎曼流形,而Heisenberg群是一类特殊的一致伪凸CR流形.关于Heisenberg群上Kohn-拉普拉斯算子的特征值问题和CR流形上次拉普拉斯算子的特征值问题已经被很多人研究.而研究一致伪凸CR流形上的特征值问题是不是可以得到和黎曼流形一样丰硕的成果,是一个值得研究的问题.而在本章中,类比黎曼流形上的相应结论,利用一致伪凸CR流形上已有的相关结论,分别给出了一致伪凸CR流形上次拉普拉斯算子的夹圆盘问题特征值的万有不等式,Reilly型不等式和Lichnerowicz-Obata型不等式.第4章研究了Ricci平坦流形上任意阶调和算子的特征值问题及任意阶调和算子的Buckling问题.到目前为止,据作者所知,关于任意阶调和算子的特征值问题及任意阶调和算子的Buckling问题,只是在欧氏空间和单位球面上得到了特征值的万有不等式.那么,一个自然的问题是在其他的黎曼流形上是否也能得到这两类问题的万有不等式?在本章中,给出了这个问题一个肯定的答案.利用Cheng和Yang构造的测试函数的方法及任意阶调和算子的特征值问题、任意阶调和算子的Buckling问题的已有结论,本章分别得到了这两类特征值问题在具有特殊函数的完备Ricci平坦流形上的万有不等式,而由这些万有不等式和一些经典不等式,可得到由前k个特征值给出的第k+1个特征值的与区域无关的万有边界.